Question

1．已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象经过坐标原点，得到抛物线C₁．将抛物线C₁向下平移后经过点A（0，-2）进而得到新的抛物线C₂，直线l经过点A和点B（2，0），求直线l和抛物线C₂的解析式；
（3）在直线l下方的抛物线C₂上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：m=0或m≠0分类探讨得出答案即可；
（2）首先由二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象经过坐标原点，求得m的数值，得出抛物线的解析式，进一步利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）过点C作CE⊥x轴交AB于E得出∠DEC=∠OAB=45°，设出C、E坐标，表示出CE，建立二次函数求得最大值即可．

解答 （1）证明：当m=0时，x=2；
当m≠0时，△=（3m-1）²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²，
∵（m+1）²≥0，
∴△≥0
综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）∵二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象经过坐标原点，
∴2m-2=0，
∴m=1，
抛物线C₁的解析式为：y=x²-2x，
抛物线C₂的解析式为：y=x²-2x-2，
设直线l所在函数解析式为：y=kx+b，
将A（0，-2）和点B（2，0）代入y=kx+b，
∴直线l所在函数解析式为：y=x-2；
（3）据题意：过点C作CE⊥x轴交AB于E，
可证∠DEC=∠OAB=45°，则$CD=\frac{{\sqrt{2}EC}}{2}$，
设C（t，t²-2t-2），E（t，t-2），（0＜t＜3）
∴EC=y_E-y_C=-t²+3t=$-{（{t-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{9}{4}$，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，$E{C_{max}}=\frac{9}{4}$
∵CD随EC增大而增大，
∴$C{D_{max}}=\frac{9}{8}\sqrt{2}$为所求．

点评 此题考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，待定系数法求函数解析式，以及抛物线平移与最值问题．