Question

12．如图，等边△BCD中，BC=2$\sqrt{3}$，过C作CA⊥BC，且AC=2，连接AB交CD于点F，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点C与点D重合，得到△EBD，连接FE，则EF的长为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{6\sqrt{13}}{7}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 过E作EG⊥AB于G，连接AE，解直角三角形得到∠ABC=30°，根据直角三角形的性质得到AB=4，由等边三角形的性质得到∠CBD=∠DCB=60°，BC=BD，于是得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3，根据旋转的性质得到BE=AB=4，∠EBD=30°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过E作EG⊥AB于G，连接AE，
∵CA⊥BC，BC=2$\sqrt{3}$，AC=2，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABC=30°，∴AB=4，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=∠DCB=60°，BC=BD，
∴CF⊥AB，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴BE=AB=4，∠EBD=30°，
∴∠EBA=60°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=2，EG=2$\sqrt{3}$，
∴FG=BF-BG=1，
∴EF=$\sqrt{F{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故选D．

点评 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．