Question

17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC、AC，作OD∥BC，与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）若BE=6，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定得出△COD≌△AOD，推出∠DCO=∠DAO=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）设BC=a，则AB=$\sqrt{3}$a，求出AC=$\sqrt{2}$a，证△EBC∽△ECA，根据相似三角形的性质得出$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，求出EC=6$\sqrt{2}$，求出DA=DC=$\sqrt{2}$OB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△DAE中，由勾股定理得出方程，求出a的值，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OD∥BC，
∴∠OBC=∠DOA，∠DOC=∠BCO，
∵BO=OC，
∴∠OBC=∠BCO，
∴∠AOD=∠COD，
在△COD和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠COD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOD（SAS），
∴∠DCO=∠DAO，
∵AD是⊙O的切线，
∵∠DAO=90°，
∴∠DCO=90°，
即OC⊥DE，
∵OC为半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）设BC=a，则AB=$\sqrt{3}$a，
所以AC=$\sqrt{2}$a，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠BCE=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECA，
∴$\frac{EB}{EC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EC=6$\sqrt{2}$，
又∵OD∥BC，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{EB}{EC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴DA=DC=$\sqrt{2}$OB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△DAE中，由勾股定理得：（$\frac{\sqrt{6}}{2}$a）²+（$\sqrt{3}$a+6）²=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$a+6$\sqrt{2}$）²，
解得：a=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．