Question

20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE的面积保持不变；
③△CDE面积的最大值为8；
④四边形CDFE不可能为正方形；
⑤DE长度的最小值为4．
其中正确的结论是（填序号）???①②③．

Answer 1

分析 ①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根据△ADF≌△CEF，得到S_{四边形CEFD}=S_△AFC；
③求出DF的最小值，根据当DE最小时，DF也最小进行计算即可；
④根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；
⑤由③的结论进行计算即可．

解答 解：①连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
②∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC，②正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S_△CEF=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，③正确；
④当D、E分别为AC、BC中点时，CD=DF=FE=EC，
四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形，④错误；
⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，
DF的最小值是4，则DE的最小值为4$\sqrt{2}$，⑤错误，
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．