Question

11．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，对角线OB、AC相交于D点，已知A点的坐标为（10，0），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160（OB＞AC），有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=$\frac{32}{x}$（x＞0）；
②E点的坐标是（5，8）；
③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；
④AC+OB=12$\sqrt{5}$．
其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 过B作BF⊥x轴于点F，由菱形的面积可求得BF，在Rt△ABF中，可求得AF，过D作DG⊥x轴于点G，由菱形的性质可求得D点坐标，则可求得双曲线解析式；根据BC∥OF可知E点纵坐标为BF的长，代入反比例函数的解析式即可得出E点坐标；过C作CH⊥x轴于点H，则HF=BC，可求得OH，可求得sin∠COA；在Rt△OBF中，由勾股定理可求得OB，结合条件可求得AC，则可求得AC+OB，可得出答案．

解答 解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H，
∵A（10，0），
∴OA=10，
∴S_菱形ABCD=OA•BF=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×160=80，即10BF=80，
∴BF=8，
在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=6，
∴OF=OA+AF=10+6=16，
∵四边形OABC为菱形，
∴D为OB中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×8=4，OG=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$×16=8，
∴D（8，4），
∵双曲线过点D．
∴4=$\frac{k}{8}$，解得k=32，
∴双曲线解析式为y=$\frac{32}{x}$．
故①正确；
∵BC∥OF，BF=8，
∴y=$\frac{32}{8}$=4，
∴E（4，8）．
故②错误；
在Rt△OCH中，OC=10，CH=8，
∴sin∠COA=$\frac{CH}{OC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
故③正确；
在Rt△OBF中，OF=16，BF=8，
∴OB=$\sqrt{{OF}^{2}+{BF}^{2}}$=$\sqrt{{16}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵AC•OB=160，
∴AC=$\frac{160}{OB}$=$\frac{160}{8\sqrt{5}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，
故④正确；
综上可知正确的为①③④共3个，
故选C．

点评 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得B到x轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查知识点较基础，综合性很强，但难度不大．