Question

2．在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+mx+2m-7的图象经过点（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把-4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（1，0）代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值，从而得到抛物线的表达式；
（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；
（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+mx+2m-7的图象经过点（1，0），
∴1+m+2m-7=0，解得m=2．
∴抛物线的表达式为y=x²+2x-3；

（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
∵当-4＜x＜-1时，y随x增大而减小；
当-1≤x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x=-1，y_最小=-4．
当x=-4时，y=5．
∴-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5；

（3）y=x²+2x-3与x轴交于点（-3，0），（1，0）．
新图象M如右图红色部分．
把抛物线y=x²+2x-3=（x+1）²-4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+1）²+4（-3≤x≤1），

当直线y=x+b经过（-3，0）时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，此时b=3；
当直线y=x+b与抛物线y=-（x+1）²+4（-3≤x≤1）相切时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，
即-（x+1）²+4=x+b有相等的实数解，整理得x²+3x+b-3=0，△=3²-4（b-3）=0，解得b=$\frac{21}{4}$．
结合图象可得，直线y=x+b与图象M有三个公共点，b的取值范围是3＜b＜$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数M的图象是解题的关键．