Question

1．如图，AB是⊙O的直径，D是$\widehat{AC}$的中点，弦AC与弦BD交于点E，点F在BD的延长线上，且DF=DE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AD=5，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明AF是⊙O的切线，只要证明∠FAD+∠DAB=90°，只要证明∠FAD=∠B即可．
（2）先在RT△ADM中求出DM=3，再根据sin∠C=sin∠B=$\frac{3}{5}$=$\frac{AD}{AB}$即可解决问题．

解答 解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，∠BAD+∠B=90°，
又∵DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠FAD=∠EAD，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠FAD=∠EAD=∠B，
∴∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠BAD+∠B=90°，
∴AF是⊙O的切线．
（2）连接OD交AC于M．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴AD=CD=5，
在Rt△DMC中，$DM=\sqrt{C{D^2}-C{M^2}}=3$，$sinC=\frac{DM}{CD}=\frac{3}{5}$，
∵∠B=∠C，
∴$sinB=sinC=\frac{3}{5}$，
∵∠ADB=90°，
∴$AB=\frac{AD}{sinB}=\frac{25}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是灵活运用圆的有关知识，掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．