Question

20．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出BD的长，求出菱形的面积，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴5×AM=24，
∴AM=$\frac{24}{5}$，
即AE，BF之间的距离是$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键．