Question

因式分解：
（1）x⁴+2x³+1+2（x+x²）
（2）x⁴+y⁴+（x+y）⁴
（3）（x+1）⁴+（x²-1）²+（x-1）⁴．

Answer 1

考点：因式分解

专题：

分析：（1）首先重新分组，进而利用十字相乘法以及公式法分解因式进而得出答案；
（2）把前两项配方，第三项展开，整理后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）将式子变形为（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴-（x+1）²（x-1）²，根据完全平方公式，平方差公式分解因式即可．

解答：解：（1）x⁴+2x³+1+2（x+x²）
=x⁴+2x³+x²+x²+2x+1
=x²（x²+2x+1）+（x+1）²
=x²（x+1）²+（x+1）²
=（x+1）²（x²+1）；

（2）x⁴+y⁴+（x+y）⁴
=（x²+y²）²-2x²y²+（x²+2xy+y²）²
=（x²+y²）²-2x²y²+（x²+y²）²+4xy（x²+y²）+4x²y²
=2（x²+y²）²+2x²y²+4xy（x²+y²）
=2[（x²+y²）²+x²y²+2xy（x²+y²）]
=2（x²+xy+y²）²；

（3）（x+1）⁴+（x²-1）²（x-1）⁴
=（x+1）⁴+（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴
=（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴-（x+1）²（x-1）²
=（x+1+x-1）²-（x+1）²（x-1）²
=（2x）²-（x+1）²（x-1）²
=[2x+（x+1）（x-1）][2x-（x+1）（x-1）]
=（x²+2x-1）（x²+2x+1）
=（x+1）²（x²+2x-1）．

点评：考查了利用分组分解法进行因式分解，难度较大，利用配方和完全平方公式，平方差公式整理是解题的关键．