Question

（1）①如图Ⅰ，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，证明：EF=

1

2

（AD+BC）；
②如图Ⅱ，在四边形ABCD中，若AD与BC不平行，E，F分别是AB、CD的中点，连接EF，判断EF与

1

2

（AD+BC）的大小关系，并说明理由．
③综合①、②可得结论：在任意四边形ABCD中，若E，F分别是AB、CD的中点，则EF与

1

2

（AD+BC）的大小关系是

 

；
（2）从（1）的①到③，我们将“梯形ABCD”改为“四边形ABCD”后进行的探索，实际上就是一个“一般化”的过程---将梯形两腰中点连线的性质“一般化”成任意四边形一组对比中点连线的性质．请将命题“菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半”一般化后探索新的结论，并说明理由（友情提醒：命题“菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半”不需证明）

Answer 1

考点：四边形综合题,梯形中位线定理

专题：综合题

分析：（1）①证明：连接AC，取AC的中点G，如图Ⅰ，先根据三角形中位线性质得到EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，由于AD∥BC，利用平行线的性质得EG∥BC，GF∥BC，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到点G在EF上，于是有EF=EG+GF=

1

2

（AD+BC）；
②如图Ⅱ，连接AC，取AC的中点G，连接GE、GF，与①一样得到EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，由于AD与BC不平行，根据平行线的性质得点G不在EF上，
则根据三角形三边的关系得到EF＜GF+GE，则EF＜

1

2

（AD+BC）；
③利用①②得，在任意四边形ABCD中，当E，F分别是AB、CD的中点，EF≤

1

2

（AD+BC）．
（2）探索新的结论为：若四边形的两条对角线互相垂直，则四边形的面积等于对角线乘积的一半．利用三角形面积公式进行证明．

解答：（1）①证明：连接AC，取AC的中点G，如图Ⅰ，

∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EG为△ABC的中位线，GF为△CAD的中位线，
∴EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，GF∥BC，
∴E、G、F三点共线，即点G在EF上，
∴EF=EG+GF=

1

2

BC+

1

2

AD=

1

2

（AD+BC）；
②EF＜

1

2

（AD+BC）．理由如下：
如图Ⅱ，连接AC，取AC的中点G，连接GE、GF，

与①一样可得EG∥BC，EG=

1

2

BC，GF∥AD，GF=

1

2

AD，
∵AD与BC不平行，
∴EG与GF不共线，即点G不在EF上，
∴EF＜GF+GE，
∴EF＜

1

2

AD+

1

2

BC，
即EF＜

1

2

（AD+BC）；
③由①②得，在任意四边形ABCD中，当E，F分别是AB、CD的中点，EF≤

1

2

（AD+BC）．
故答案为EF≤

1

2

（AD+BC）．
（2）若四边形的两条对角线互相垂直，则四边形的面积等于对角线乘积的一半．理由如下：
如图3，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，且AC⊥BD，

则S四边形ABCD=S_△ABD+S_△CBD
=

1

2

•OA•BD+

1

2

•OC•BD
=

1

2

•BD（OA+OC）
=

1

2

•BD•AC．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、梯形的中位线性质和三角形中位线性质；会运用三角形三边的关系判断线段之间的大小关系；在学习数学的过程中，勇于探索从特殊到一般的变化．