Question

已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）若O为AB的中点（如图1），则ED与EC的大小关系为：ED

 

EC．（填“＞““＜““=“）
（2）若OA＜3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？
（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质，先求出圆的半径，再结合前两问的结论，在Rt△DEF中，利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）如图1，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC，
故答案为：=；
（2）如图2，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC；
（3）设BC中点为F，如图3，连接OF、OD、OE，

设OA=r，则OB=6-r，且BF=4，
在Rt△OBF中，由勾股定理可得：OF²=OB²+BF²，即r²=（6-r）²+4²，解得r=

13

3

，
设CE=DE=x，则BE=8-x，在Rt△OBE中，由勾股定理可得：OE²=OB²+BE²，
则在Rt△ODE中，由勾定理可得：OE²=OD²+DE²，
∴OB²+BE²=OD²+DE²，即（6-r）²+（8-x）²=r²+x²，
整理可得3r+4x=25，把r=

13

3

代入可得x=3，
即CE长为3．

点评：本题主要考查圆的切线的性质及圆的基本性质、勾股定理等的综合应用，一般出现切点连接圆心和切点是常用的辅助线，再结合直角三角形进行求解即可．