Question

如图，在△ABC中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，AB=6，点C在y轴负半轴上，且OC=5，抛物线y=a（x-2）²+k经过△ABC的三个顶点．
（1）求抛物线解析式的一般式；
（2）设横坐标为t的点P为抛物线上位于直线BC下方的一点，过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，若直线PQ与直线BC之间的距离为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PA交BC于点E，当t为何值时，使AE=2PE？请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将抛物线y=a（x-2）²+k化为一般式为y=ax²-4ax+4a+k，令ax²-4ax+4a+k=0，由韦达定理得，AB²的关系式，得出k=-9a，再由点C（0，-5）代入y=ax²-4ax+4a+k，得-5=4a+k，联立得出a，k的值，从而得到抛物线一般式，
（2）作PN⊥y轴，延长BC交PN于点M，作BR⊥PQ，利用抛物线y=x²-4x-5，得出点B，C的坐标，求出MP的长，在RT△BRQ中∠RBQ=45°，即可得出d与t之间的函数关系式．
（3）由BQ=-t²+5t，AB=6，结合平行线分线段成比例列出式子求解即可得出t的值．

解答：解：（1）抛物线y=a（x-2）²+k化为一般式为y=ax²-4ax+4a+k，
∵令ax²-4ax+4a+k=0，由韦达定理得，x₁+x₂=4，x₁•x₂=

4a+k

a

，AB=6，
∴4²-4×

4a+k

a

=36，化简得k=-9a，
∵点C在y轴负半轴上，且OC=5，
∴点C（0，-5）代入y=ax²-4ax+4a+k，得-5=4a+k，
联立

k=-9a -5=4a+k

，解得

a=1 k=-9

，
∴抛物线一般式为y=x²-4x-5，
（2）如图1，作PN⊥y轴，延长BC交PN于点M，作BR⊥PQ，

∵抛物线y=x²-4x-5，
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=45°，
∴∠MCN=45°，
∴CN=MN，
∵P（t，t²-4t-5），
∴MN=CN=-（t²-4t-5）-5=-t²+4t，
∴MP=MN+NP=-t²+4t+t=-t²+5t
∵四边形MPQB是平行四边形，
∴BQ=-t²+5t，
∵在RT△BRQ中∠RBQ=45°，
∴d=

-t2+4t

2

=-

2

2

t²+2

2

t．（0＜t＜5）
（3）如图2，

由（2）可知BQ=-t²+5t，
∵AB=6，
∴

AE

PE

=

AB

BQ

，
∵AE=2PE，
∴2=

6

-t2+5t

，解得t=

5- 13

2

或t=

5+ 13

2

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．