Question

9．如图所示，在等边三角形ABC中，AB=2，P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，点不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）请将y用含x的式子表示出来；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

Answer 1

分析 （1）设BP=x，利用等边三角形中，三个角均为60°，三边长相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的长，利用△BEP∽△AQF，对应边成比例，求出AP与AQ之间的关系；
（2）点P与点Q重合时，有AQ+AP=AB，代入关系式求解．

解答 解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE=$\frac{x}{2}$，EC=2-$\frac{x}{2}$，CF=1-$\frac{x}{4}$，
AF=2-1+$\frac{x}{4}$=1+$\frac{x}{4}$，
∵△BEP∽△AQF，
∴$\frac{AF}{BP}$=$\frac{AQ}{BE}$，
∴AQ=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{8}$，
∴y=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{8}$（0＜x≤2）；

（2）当x+y=2，x+$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{8}$=2，
∴$\frac{9}{8}$x=$\frac{3}{2}$，
∴x=$\frac{4}{3}$．
故BP为$\frac{4}{3}$时，P与Q重合．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及一次函数的综合应用．