Question

1．如图，在方格纸上的每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在正方形的顶点上．
（1）△ABC和△ACD都是直角三角形吗？为什么？
（2）由（1）能判定D，C，B三点在一条直线上吗？说明理由；
（3）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，根据已知条件求得AD²=5²+1²=26，AC²+CD²=3²+2²+3²+2²=26，AC²+BC²=13+1²+2²=18，AB²=4²=16，然后根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）D，C，B三点不在一条直线上，由∠ACD=90°，∠ACB≠90°，推出∠BCD≠180°，于是得到结论；
（3）由（1）知，∠ACD=90°，证得△ACD是等腰直角三角形，于是得到结果．

解答 解：（1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，
理由：∵AD²=5²+1²=26，AC²+CD²=3²+2²+3²+2²=26，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵AC²+BC²=13+1²+2²=18，AB²=4²=16，
∴AC²+BC²≠AB²，
∴△ABC不是直角三角形；

（2）D，C，B三点不在一条直线上，
理由：∵∠ACD=90°，∠ACB≠90°，
∴∠BCD≠180°，
∴D，C，B三点不在一条直线上；

（3）由（1）知，∠ACD=90°，
∵AC²=CD²=13，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．