Question

20．如图，矩形ABOE的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积；
（3）AE与反比例函数交于点F，连接OF，△AOF是等腰三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先求出OA，进而求出点A的坐标，即可得出点C的坐标，即可得出反比例函数解析式；
（2）先求出OG，CG，BG，BD，利用三角形和梯形的面积之和即可得出结论；
（3）先求出点F的坐标，进而求出OF，AF，OC，即可判断△AOF不是等腰三角形．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴A（2$\sqrt{3}$，2），
∵C是OA的中点，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
（2）如图1，

过点C作CG⊥OB，
∵C（$\sqrt{3}$，1），
∴G（$\sqrt{3}$，0），
∴OG=$\sqrt{3}$，CG=1，
将x=2$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得y=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$，BG=$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形CDBO}=S_△OCG+S_梯形BDCG=$\frac{1}{2}$OG•CG+$\frac{1}{2}$（CG+BD）•BG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
（3）△AOF不是等腰三角形，
由题意知，E（0，2），
由（1）知反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），OF=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∵A（2$\sqrt{3}$，2），
∴AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵OC=4，
∴OF≠AF≠OC，
∴△AOF不是等腰三角形．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了解直角三角形，待定系数法，几何图形的面积的求法，等腰三角形的判断方法，解（1）的关键是求出点A的坐标，解（2）的关键是作出辅助线将四边形CDBO分割成直角三角形和梯形，解（3）的关键是求出点F的坐标．