题目内容
12．矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F为AB、CD边上的中点，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面上滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，求点F的坐标及FA的长度；
（2）当t=4时，求OE的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点E运动路线的长；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
分析 （1）先确定出DF，进而得出点F的坐标即可得出AF；
（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，OE=4，即可得出结论；
（3）先判断出点E运动的路线，利用弧长公式即可得出结论；
（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
解答 解：（1）当t=0时，
∵AB=CD=8，F为CD中点，
∴DF=4，
∴F（3，4），
∴AF=5，
（2）当t=4时，OA=4，
在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，点E是AB的中点，
∴∠ABO=30°，OE=4，
∴∠BAO=60°，
（3）从t=0到t=4这一时段，点E运动路线是以O为圆心，OE为半径圆心角是30°的一段弧，
（其中OE=OE1=4，∠E1OE=90°-60°=30°，）
∴点E运动路线的长为$\frac{30π×4}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，
∴AF=$\sqrt{F{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，
∴FA⊥OA，
∴∠OAB+∠FAB=90°，
∵∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠BAO=∠FAD，
∵∠BOA=∠D=90°，
∴Rt△FAE∽Rt△ABO，
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FE}$，
∴$\frac{8}{5}=\frac{{t}_{1}}{3}$，
∴t1=$\frac{24}{5}$，
②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=$\frac{32}{5}$，
综上所述，当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为$\frac{24}{5}$或$\frac{32}{5}$．
点评 此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出点E的运动路线，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．
全能测控期末小状元系列答案
如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且OC=2OB
如图，矩形ABOE的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
| A． | -2x2-2=-2（x+1）（x-1） | B． | x2-4x+4=（x-2）2 | C． | x2+9=（x+3）2 | D． | x2+3x+1=x（x+3）+1 |