Question

5．在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AC=6，四边形ABCD的面积为24．
（1）如图1，求BD的长；
（2）如图2，若AD=5，AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，推出S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO$+\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$BD（AO+OC）=$\frac{1}{2}$BD×6=24，由此即可解决问题；
（2）设OA=x，OD=y，则OB=8-y，OC=6-x，想办法构建方程组即可解决问题；

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO$+\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$BD（AO+OC）=$\frac{1}{2}$BD×6=24，
∴BD=8；
（2）设OA=x，OD=y，则OB=8-y，OC=6-x，
∵AD∥BC，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{x}{6-x}$=$\frac{y}{8-y}$，
∴4x=3y，
∵x²+y²=25，x＞0，y＞0，
∴x=3，y=4，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会构建方程组解决问题，属于中考常考题型，体现了数形结合的思想．