Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH=2，然后连接HM交CD于E，接着在EB上截取EF=2，那么E、F两点即可满足题目要求，利用相似三角形的性质即可求出CE的长，进一步得到DF的长．

解答 解：∵点E、F是边CD上的任意两点，
∴如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH=2，然后连接HM交CD于E，接着在EB上截取EF=2，
那么E、F两点即可满足使四边形APEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是BC中点，
∴CP=CM=4，MB=12，而AH=2，
∴BH=4，
∵AB∥CD，
∴△CEM∽△BHM，
∴CE：BH=MC：MB，
∴CE=$\frac{BH×MC}{MB}$=$\frac{4}{3}$，
∴DF=CD-CE-EF=6-$\frac{4}{3}$-2=$\frac{8}{3}$．
故选：C．

点评 此题分别考查了轴对称-最短路程问题、矩形及相似三角形的性质等知识，有点难度，要求学生平时加强训练．