Question

8．已知：如图1，菱形ABCD的边长为4cm，P、Q分别是AB、BC两边上的动点，P、Q分别从A、B两点同时出发，均以1cm/s的速度沿AB、BC向点B和点C匀速运动，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），点P到AD的距离与点Q到CD的距离差的绝对值为y（cm），且y与t的函数图象如图2所示．

（1）∠A的度数为60°，M点的坐标所表示的实际意义是点P到AD的距离和点Q到CD的距离相等；
（2）求证：PD=QD；
（3）当y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先由图2判断出菱形ABCD的高为2$\sqrt{3}$，然后利用锐角三角函数即可得出结论；
（2）先判断出△BCD是等边三角形，进而判断出△BDQ≌△ADP，即可得出结论；
（3）构造出直角三角形，利用三角形函数得出PE和PF，进而得出y=$\sqrt{3}$|t-2|，再将y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

过B作BE⊥CD于E，
由图2知，
运动时间t=0时，点P到AD的距离为0，点Q到CD的距离是菱形的高为2$\sqrt{3}$，
即：BE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE中，BC=4，BE=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠C=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=∠C=60°，
由图2知，点M在x轴上，
∴M点的坐标所表示的意义是点P到AD的距离和点Q到CD的距离相等；
故答案为60°，点P到AD的距离和点Q到CD的距离相等；

（2）如图3，

连接BD，由（1）知，∠C=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴DB=BC=AD，∠DBQ=60°=∠A，
由运动知，AP=BQ，
在△BDQ和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠DBQ=∠A}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△BDQ≌△ADP，
∴QD=PD；

（3）如图4，

过点P作PE⊥AD，过点Q作QF⊥CD，
由运动知，AP=AQ=t，（0≤t≤4）
∴CQ=4-t，
在Rt△APE中，∠A=60°，AP=t，
∴PE=AP•sin∠A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
同理：FQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
∴y=|$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t）|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|2t-4|=$\sqrt{3}$|t-2|，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2|t-2|=1，
∴t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数的意义，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是从图2中得出菱形的高，解（2）的关键是构造出全等三角形，解（3）的关键是建立y与t的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．