Question

20．如图，一次函数y₁=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当x为何值时，y₁＜y₂？

Answer 1

分析 （1）由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小，从而得出反比例函数解析式；由三角形的面积公式可得出AB=4，结合点B坐标可得出点A的坐标，由A、P点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）令y₁=y₂，求出x的值，从而得出点Q的横坐标，结合两函数图象的位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P的坐标为（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y₂=$\frac{4}{x}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•PB=4，
∴AB=4，
∴点A（-2，0）．
∵点A、P在一次函数图象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-2m+n}\\{2=2m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x+1．
（2）令y₁=$\frac{1}{2}$x+1=y₂=$\frac{4}{x}$，即x²+2x-8=0，
解得：x₁=-4，x₂=2．
即点Q横坐标为-4，点P横坐标为2．
结合两函数图象可知：
当x＜-4和0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
则当x＜-4或0＜x＜2时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）结合函数图象的位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的条件求出点的坐标，再根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式是关键．