Question

10．如图，在△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$π-1．

Answer 1

分析 连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

解答 解：连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB=2，∠ACB=90°，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵点O为AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，四边形OMCN是正方形，OM=1，
则扇形FOE的面积是：$\frac{90•π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$π，
∵OA=OB，∠AOB=90°，点D为AB的中点，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
则在△OMG和△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠ONH}\\{∠GOM=∠HON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}=1．
则阴影部分的面积是：$\frac{1}{2}$π-1，
故答案为：$\frac{1}{2}$π-1．

点评 本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OMG≌△ONH，得到S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}是解题的关键．