Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发，在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△APQ与△ADC相似，求t的值．
（2）连结CQ，DP，若CQ⊥DP，求t的值．
（3）连结BQ，PD，请问BQ能和PD平行吗？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）过P作PM⊥AD于M，根据相似三角形的性质列比例式求得PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，根据已知条件推出△PMD∽△QDC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）设DP交BC于N，根据相似三角形的性质列比例式求得NC=$\frac{10-5t}{5t}×8=\frac{16-8t}{t}$，得到BN=8-$\frac{16-8t}{t}$=$\frac{16t-16}{t}$，当BQ∥DP，得到四边形BQDN是平行四边形，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由题意得；QD=4t，AQ=8-4t，AP=5t，PC=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，
∴情况①$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AD}$，即$\frac{8-4t}{10}=\frac{5t}{8}$，解得：t=$\frac{32}{41}$；
情况②$\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{8-4t}{8}=\frac{5t}{10}$，解得：t=1；

（2）如图1，过P作PM⊥AD于M，∵∠ADC=90°，∴PM∥CD，∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{AM}{AD}=\frac{AP}{AC}$，
∵AP=5t，
∴$\frac{PM}{6}=\frac{AM}{8}=\frac{5t}{10}$，
∴PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，
∵CQ⊥DP，∴∠1=∠2，
∵∠PMD=∠CDQ=90°，
∴△PMD∽△QDC，
∴$\frac{PM}{QD}=\frac{MD}{DC}$，即$\frac{3t}{4t}=\frac{8-4t}{6}$，
解得：t=$\frac{7}{8}$；

（3）设DP交BC于N，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△CNP，
∴$\frac{NC}{AD}=\frac{CP}{AP}$，
∴NC=$\frac{10-5t}{5t}×8=\frac{16-8t}{t}$，
∴BN=8-$\frac{16-8t}{t}$=$\frac{16t-16}{t}$，
当BQ∥DP，则四边形BQDN是平行四边形，
∴BN=QD，
∴$\frac{16t-16}{t}$=4t，
解得：t₁=t₂=2，（不合题意，舍去），
∴不存在这样的t．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，垂直的定义，证得△ADP∽△CNP是解题的关键．