题目内容
2．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考：
小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形
请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．
请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程；
证明：
延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴AC=BF；．
（2）解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是10$\sqrt{2}$+8．
分析 （1）先判断出△BDF≌△CDM进而得出MC=BF，∠M=∠BFM．再判断出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出结论；
（2）先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．
解答 （1）延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
故答案为：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
（2）如图，
∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四边形MFGN是平行四边形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小，
过点A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10$\sqrt{2}$+8．
故答案为10$\sqrt{2}$+8．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解（1）关键是△BDF≌△CDM，解（2）的关键是判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小．
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如图，方格图中小正方形的边长为1．将方格图中阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么所拼成的这个正方形的边长为$\sqrt{6}$．
如图所示，直线AC：y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2 +bx+c（a＞0）过A，C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．| A． | 1cm，1cm，1cm | B． | 5cm，5cm，10cm | C． | 1cm，2cm，3cm | D． | 2cm，3cm，6cm |
如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=45°，求∠ACD的度数．