Question

13．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：
（1）理解
如图1，在四边形ABCD中，若AB=BC（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用
证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
（3）拓展
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用“准菱形”的定义即可得出结论；
（2）先根据题目意思画出图形，写出已知和求证，再用正方形的判定定理即可得出结论；
（3）由“准菱形”的定义分四种情况：利用定义直接得出结论即可．

解答 解：（1）由“准菱形”的定义得出，AB=BC，
故答案为：AB=BC；

（2）已知：如图，四边形ABCD是“准菱形”，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD是“准菱形”，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形；

（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
由平移得，BE=AD，DE=AB=2，EF=BC=1，DF=AC=$\sqrt{5}$，
由“准菱形”的定义分四种情况：
①当AD=AB时，BE=AD=AB=2；
②当AD=DF时，BE=AD=DF=$\sqrt{5}$，
③如图1，当BF=DF=$\sqrt{5}$时，延长FE交AB于点H，
∴FH⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠BEH=∠ABE=45°，
∴BE=$\sqrt{2}$BH，
设EH=BH=x，
∴FH=x+1，BE=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BFH中，BH²+FH²=BF²，
∴x²+（x+1）²=5，
∴x=1或x=-2（舍），
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$；
④如图1，当BF=AB=2时，
与③的方法一样得：BH²+FH²=BF²，
设EH=BH=x，
∴x²+（x+1）²=4，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$或x=$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（舍），
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$，
综上所述，BE=2或$\sqrt{5}$或$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义的理解，正方形的判定，勾股定理，平移的性质，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题．