Question

14．如图，面积为9cm²的正方形EFGH在面积为25cm²的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，记线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长度是（　　）

• A． $\frac{25}{4}$cm
• B． $\frac{73}{4}$cm
• C． $\frac{\sqrt{73}}{2}$cm
• D． $\frac{\sqrt{75}}{2}$cm

Answer 1

分析 连接HM并延长至点P，使MP=MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，由△FHM≌△CPM，求出PC=FH=3$\sqrt{3}$，根据等腰直角三角形的性质求出PQ=CQ=3，再运用勾股定理求出PD，根据三角形中位线性质定理可求出MN的长．

解答 解：连接HM并延长至点P，使MP=MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，
∵正方形EFGH在面积为面积为9cm²，正方形ABCD的面积为25cm²，
∴EF=3，AB=5，
∵M是线段CF的中点，
∴MF=MC，
在△FHM和△CPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=MC}\\{∠FMH=∠CMP}\\{MP=MH}\end{array}\right.$，
∴△FHM≌△CPM，
∴FH=PC，∠HFM=∠PCM，
∵EF=EH=3，
∴FH=PC=3$\sqrt{2}$，
∵FG∥BC，
∴∠GFM=∠BCM，
∴∠HFG=∠PCB=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴PQ=QC=3，
∴DQ=CD+CQ=8，
∴PD=$\sqrt{73}$，
∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，
∴MN=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{73}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键．