Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，sin∠BAC=$\frac{1}{3}$，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G．
（1）求证：△BCD∽△AGD；
（2）求AG的长．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥CD于H，如图，然后根据旋转的性质的∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，根据两等腰三角形的两顶角相等，则底角相等得到∠CBE=∠CAF，∠AGD=∠BCD，于是得到结论；
（2）在Rt△ABC中利用∠BAC的正弦可计算出AC=6，由于BC=BD=2，根据等腰三角形的性质得CH=DH，根据等角的余角相等得∠HBC=∠BAC，在Rt△HBC中利用sin∠HBC的正弦可计算出HC=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2}{3}$，则CD=2CH=$\frac{4}{3}$，所以AD=AC-CD=$\frac{14}{3}$，易得∠AGD=∠BCD，再利用∠BCD=∠BDC可得∠ADG=∠AGD，于是根据等腰三角形的性质可得AG=AD=$\frac{14}{3}$．

解答 解：（1）作BH⊥CD于H，如图，
∵Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，
∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BCE），∠CAF=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACF），
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BDC=∠ADG，
∴△BCD∽△AGD；

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴AC=3BC=6，
∵BC=BD=2，
∴CH=DH，
∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠BAC，
∴sin∠HBC=$\frac{1}{3}$，
在Rt△HBC中，∵sin∠HBC=$\frac{HC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴HC=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2}{3}$，
∴CD=2CH=$\frac{4}{3}$，
∴AD=AC-CD=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∵∠BDC=∠ADG，
∴∠AGD=∠BCD，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AG=AD=$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．