Question

11．如图，在?ABCD中，过点B作BE⊥DC于点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）不添加任何辅助线和字母，写出一对相似三角形，并加以证明；
（2）若AE=4，AD=3，∠BAF=30°，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）根据平行线的性质得到BE⊥AB，解直角三角形得到AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，通过三角形相似即可得到结论．

解答 （1）△ABF∽△EAD，
证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥DC，
∴BE⊥AB，
∵∠BAE=30°，AE=4，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{3}{BF}=\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．