Question

5．已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 根据DE⊥AC，DF⊥AB得出∠BFD=∠CED=90°，根据中点得出BD=CD，从而得出Rt△BDF与Rt△CDE全等，从而得出∠B=∠C，即可证明等腰三角形．

解答 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDF与Rt△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的判定．