题目内容
10．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，BM之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若DN=3$\sqrt{7}$，BM=3$\sqrt{2}$，求MN的长．
分析 （1）由HL证明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需证明一对全等，另一对同理可证；
（2）先证明△AMN≌△AHN，进而证明△NHD是直角三角形即可；
（3）利用（2）中结论建立方程，解之即可．
解答 解：（1）如图①，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$=45°；
（2）如图②，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由题意知△ABM≌ADH，
∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，
∴∠BDH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAN+∠DAH=45°，
即∠NAH=45°，
在△AMN和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴HN=MN，
在Rt△NDH中，NH2=DH2+ND2，
∴MN2=BM2+DN2；
（3）如图③，由（2）中结论可知：MN2=BM2+DN2，
∵DN=3$\sqrt{7}$，BM=3$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{B{M}^{2}+D{N}^{2}}$=9．
点评 本题考查了旋转变换、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，难度适中．本题是经典的“大角夹半角”模型，其基本证明方法必须熟练掌握．第（2）问当中所证明的结论可以认为是等腰直角三角形或正方形的重要性质，可直接记住，在解决一些相关的几何证明和计算时会有很大帮助．
一线名师权威作业本系列答案| A． | （x-3）2=8 | B． | （x-3）2=-10 | C． | （x+3）2=8 | D． | （x+3）2=-10 |
如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC=1：5，则$\frac{BE}{EC}$的值为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{5}$ | D． | $\frac{1}{25}$ |
已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．
| A． | （$\sqrt{a}$）2=a | B． | 若a＞b（ab≠0），则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$ | ||
| C． | |a|•|b|=|ab| | D． | 若m为整数，则（m+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{7}{4}$是整数 |
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