Question

3．阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2^-3=$\frac{1}{8}$，所以log₂$\frac{1}{8}$=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=4；②log₃3=1；③log₃1=0；
④如果log_x16=4，那么x=2．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴log_aMN=x+y，
即log_aMN=log_aM+log_aN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．仿照上面说明方法，任选一空试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目给出的信息可以解答本题，然后选择一空说明理由即可．

解答 解：（1）①∵3⁴=81，∴log₃81=4；
②∵3¹=3，∴log₃3=1；
③∵3⁰=1，∴log₃1=0；
④∵2⁴=16，∴log_X16=4时，x=2；
故答案为：①4；②1；③0；④2；
（2）由题目中的信息可得，log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n，
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN，
故答案为：log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n，log_aM-log_aN；
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN，
理由：设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x÷a^y=a^x-y，∴a^x-y=M÷N∴log_a$\frac{M}{N}$=x-y，
即log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN．

点评 本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．