如图.已知直线l:y1=kx+b分别与x轴.y轴交于A.B两点.与双曲线y2=$\frac{a}{x}$分别交于D.E两点．若点D的坐标为(1)分别直接写出直线l与双曲线的解析式:y1=-x+5.y2=$\frac{4}{x}$,(2)若将直线l向下平移m个单位.当m为何值时.直线l与双曲线有且只有一个交点,(3)当y1＜y2时.直接写出x的取值范围0＜x＜1或x＞4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．

如图，已知直线l：y₁=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）
（1）分别直接写出直线l与双曲线的解析式：y₁=-x+5，y₂=$\frac{4}{x}$；
（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点；
（3）当y₁＜y₂时，直接写出x的取值范围0＜x＜1或x＞4．

分析（1）根据直线l：y₁=kx+b与双曲线y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点，点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4），可以分别求得直线l与双曲线的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程组，然后根据直线l与双曲线有且只有一个交点，可知联立后的方程组中组成的二元一次方程中△=0，注意交点在第一象限；
（3）根据函数图象可以得到当y₁＜y₂时，x的取值范围．

解答解：（1）∵直线l：y₁=kx+b与双曲线y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点，点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，$4=\frac{a}{1}$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，a=4，
即直线l：y₁=-x+5，双曲线y₂=$\frac{4}{x}$，
故答案为：y₁=-x+5，y₂=$\frac{4}{x}$；
（2）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=\frac{4}{x}}\\{{y}_{1}=-x+5-m}\end{array}\right.$
化简，得
x²+（m-5）x+4=0，
∵直线l与双曲线有且只有一个交点，
∴（m-5）²-4×1×4=0，
解得，m=1或m=9
∵m=1时，直线与双曲线的一个交点在第一象限，当m=9时，直线与双曲的一个交点在第三象限，双曲线y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）
∴m=1，
即当m为1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；
（3）由图象可知，当0＜x＜1或x＞4时，y₁＜y₂，
故答案为：0＜x＜1或x＞4．

点评本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

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2．（1）解方程：x²-4x-3=0
（2）解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}x-3（x-2）≤4\\ \frac{1+2x}{3}＞x-1\end{array}$并将解集在数轴上表示出来．

3．阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2^-3=$\frac{1}{8}$，所以log₂$\frac{1}{8}$=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=4；②log₃3=1；③log₃1=0；
④如果log_x16=4，那么x=2．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴log_aMN=x+y，
即log_aMN=log_aM+log_aN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．仿照上面说明方法，任选一空试说明理由．

20．$（-3{）^{2016}}•（\frac{1}{3}{）^{2015}}$=3．

如图，在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线y=-x²+4mx（m＞0）与x轴的另一个交点为点A，过点P（1，m）作直线PB⊥x轴，交抛物线于点B，作点B关于抛物线对称轴的对称点C（点B、C不重合），连结BC，当点P、B不重合时，以BP、BC为边作矩形PBCQ，设矩形PBCQ的周长为l．
（1）当m=1时，求点A的坐标．
（2）当BC=$\frac{1}{2}$时，求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）当点P在点B下方时，求l与m之间的函数关系．
（4）连结CP，以CP为直角边作等腰直角三角形PCM，直接写出点M落在坐标轴上时m的值．

如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么$\frac{AB}{AD}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

4．作图题
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a
求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC=a，∠AOB=60°．

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

如图，AB∥CD，∠AFE=125°，则∠C的度数为55°．