Question

4．如图，已知等腰直角三角形ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M为斜边BC所在直线上一动点，且三角形DMN为等腰直角三角形（DM=DN，D、M、N呈逆时针）．
（1）如图1点M在边BC上，判断MF和AN的数量和位置关系，请直接写出你的结论．
（2）如图2点M在B点左侧时；如图3，点M在C点右侧．其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，并选择图2或图3的一种情况来说明理由．
（3）在图2中若∠DMB=α，连接EN，请猜测MF与EN的数量关系，即MF=（sinα+cosα） EN．（用含α的三角函数的式子表示）

Answer 1

分析 （1）可通过全等三角形来证明AN与MF相等，如果连接DF，那么DF就是三角形ABC的中位线，可得出三角形BDF是等腰直角三角形，那么∠DFM=∠C=45°，DB=DF，而∠MDF=∠ADN，因此△FDM≌△AFN，由此可得出AN=MF，∠DAN=∠DFM=45°，由等腰三角形三线合一的性质得出AN⊥MF；
（2）证法同（1）；
（3）证明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，进一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，证得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DM•sinα，DH=DM•cosα，从而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．

解答 解：（1）判断：AN=MF且AN⊥MF，
（2）成立．
连接DF，NF，如图2①，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，
∴∠MDN=∠BDF，
∴∠FDM=∠ADN，
在△DMF和△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AD}\\{∠FDM=∠ADN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$
∴△DMF≌△DNA（SAS），
∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．
∴AN是∠BAC的平分线，
∴AN⊥BC，
即AN⊥MF；
（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如图2②，
∵D、E分别为边AB、ACC的中点，AB=AC，
∴AD=AE，
在△DAN和△EAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△DAN≌△EAN（SAS），
∴EN=DN，
∵DM=DN，
∴DM=EN，
作DH⊥BC于H，
∵∠DFM=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴FH=DH，
∵MH=DM•sinα，DH=DM•cosα，
∴FH=DH=DM•cosα，
∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，
即MF=（sinα+cosα）EN；
故答案为（sinα+cosα）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．