Question

15．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E为CD的中点，连接AE，BE，AC，AC与BE相交于点O，若CD=2AB=2
（1）求证：四边形ABCE为平行四边形；
（2）若BC=CE，AC=$\sqrt{3}$，试判断四边形ABCE的形状，并求△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）由E为CD的中点，得到CE=$\frac{1}{2}$CD，得到AB=CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判定定理即可得到?ABCE是菱形，由菱形的性质得到AC⊥BE，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后根据菱形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵E为CD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD=2AB，
∴AB=CE，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE为平行四边形；

（2）解：∵BC=CE，
∴?ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BC=AB=1，
∴BO=$\frac{1}{2}$，
∴BE=1，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCE=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．