Question

3．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等．
（1）∠EAF的度数为45°．
（2）若EG=4，GF=6，求AG的长．
（3）连接BD分别交AE，AF于点M，N，试判断BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．因为CE²+CF²=EF²，所以（x-4）²+（x-6）²=10²．解这个方程，求出x的值即可得到AG=12；
（3）连接MH，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，所以∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，所以MH²=HB²+ND²，所以MN²=MB²+ND²；

解答 解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAE=∠GAE．
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
故答案为：45°；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，则EF=10
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解这个方程，得x₁=12，x₂=-2（舍去）．
∴AG=12；

（3）证明：连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，得到图②，连接MH，
由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，
∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°．
由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH²=HB²+ND²，
∴MN²=MB²+ND²．

点评 本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小．