Question

3．（1）如图，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直线边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE．
（2）如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的判定与性质，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根据圆内接四边形的性质，可得∠PBC+∠PEC=180°，根据补角的性质，可得∠PED=∠PDE，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据正方形的性质，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的判定与性质，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根据三角形的内角和，可得∠PBC=∠PEC，根据等腰三角形的判定，可得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°．
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC  （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
∵∠BPE，∠BCD，∠PBC，∠PEC是圆内接四边形的内角，∠BPE+∠BCD=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PE；
（2）仍然成立，理由如下：
连接PD，如图2：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC  （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
若BC与PE相交于点O，在△PBO和△CEO中，
∠POB=∠EOC，∠OPB=∠OCE，
∠PBC=180°-∠OPB-∠POB，∠PEC=180°-∠EOC-∠OCE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∴PD=PE，
∴PB=PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，补角的性质，等腰三角形的判定．