Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标为（2，2），则阴影部分面积S最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=$\frac{k}{x}$可得到A点的坐标为（$\frac{k}{2}$，2），E点的坐标为（2，$\frac{k}{2}$），然后计算S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE，配方得$\frac{1}{8}$（k-2）²+$\frac{3}{2}$，当k=2时，S_阴影部分最小值为$\frac{3}{2}$．

解答 解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=$\frac{k}{x}$得x=$\frac{k}{2}$；把x=2代入y=$\frac{k}{x}$得y=$\frac{k}{2}$，
∴A点的坐标为（$\frac{k}{2}$，2），E点的坐标为（2，$\frac{k}{2}$），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
=$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{k}{2}$）×（2-$\frac{k}{2}$）+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{k}{2}$
=$\frac{1}{8}$k²-$\frac{1}{2}$k+2
=$\frac{1}{8}$（k-2）²+$\frac{3}{2}$．
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识，根据已知表示出图形面积是解题关键．