题目内容
19．
如图，二次函数y=$\frac{1}{4}$x2+（$\frac{m}{4}$+1）x+m（其中m＜4）的图象与x轴相交于A、B两点，且点A在点B的左侧．（1）求A、B两点的坐标；（可用含字母m的代数式表示）
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为$\frac{3}{5}$，求解这个二次函数的表达式；
（3）在上一小题的条件下，E是x轴上的一个动点，若以点B为圆心，BE为半径的圆与直线AC相切，求点E的坐标．
分析 （1）求出方程$\frac{1}{4}$x2+（$\frac{m}{4}$+1）x+m=0的解，可得A、B两点的坐标；
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，并设点C的坐标为（x，$\frac{9}{x}$），根据∠BAC的正弦值为$\frac{3}{5}$，可得关于x的方程，解出即可；
（3）由相切可知BE的长度即为点B到AC的距离，根据sin∠BAC，可得半径r，即BE的长度，根据点B坐标可得点E坐标．
解答 解：（1）令$\frac{1}{4}$x2+（$\frac{m}{4}$+1）x+m=0，
解得：x1=-4，x2=-m，
则可得A（-4，0）、B（-m，0）．
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，并设点C的坐标为（x，$\frac{9}{x}$），
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{\frac{9}{x}}}{x+4}=\frac{3}{4}$，
解得：x=2，
∴C点的坐标是（2，$\frac{9}{2}$），
将点C坐标代入解析式，得到m=1，
∴函数表达式为：y=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{5}{4}$x+1，
（3）过点B作BF⊥AC于点F，
由上题得到AB=3，由相切可知BE的长度即为点B到AC的距离，
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
解得：BF=$\frac{9}{5}$，即半径r=BE=$\frac{9}{5}$，
∴点E的坐标为（-$\frac{14}{5}$，0）或者（$\frac{4}{5}$，0）．
点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了一元二次方程的解、三角函数及切线的性质，综合性较强，关键点在于sin∠BAC的值的应用，难度一般．
| 蔬菜品种 | 苹果 | 香蕉 | 西瓜 | 梨子 |
| 批发价（元/千克） | 3.5 | 1.2 | 1.5 | 1.3 |
| 零售价（元/千克） | 4.5 | 1.5 | 2.8 | 1.8 |
（1）请计算小李苹果和西瓜各买了多少千克？
（2）若他能够当天卖完，请问他能赚多少钱？
| 类 别 | 智能手机 | 平板电脑 |
| 进价（元/台） | 3600 | 3200 |
| 售价（元/台） | 4500 | 4000 |
（2）哪种进货方案待商店销售购进的智能手机与平板电脑完后获得利润最多？并求出最大利润．
如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为8 cm．
如图，△ABC和△DEF中，给出下列六个条件：
如图，点A、B为6×6的网格中的格点，每个小正方形的边长都为1，其中A点的坐标为（0，4）．
如图，已知△ABC，BC=5，AB=4，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形，则图中阴影部分的面积之和的最大值是30．