Question

9．如图，已知△ABC，BC=5，AB=4，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形，则图中阴影部分的面积之和的最大值是30．

Answer 1

分析 把△CFH绕点C顺时针旋转90°得到△BCH′，然后判断出A、C、H′三点共线，再根据等底等高的三角形的面积相等可得S_△BCH′=S_△ABC，即S_△CFH=S_△ABC，同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，从而得到阴影部分的面积的和=3S_△ABC，再根据三角形的面积公式，当AB⊥BC时，面积最大列式计算即可得解．

解答 解：如图，把△CFH绕点C顺时针旋转90°得到△BCH′，
∵Ⅱ表示正方形，
∴AC=CH=CH′，∠ACH+∠BCH′=360°-90°×2=180°，
∴A、C、H′三点共线，
∴S_△BCH′=S_△ABC，
∴S_△CFH=S_△ABC，
同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，
∴阴影部分的面积的和=3S_△ABC，
∵BC=5，AB=4，
∴当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×4×5=10，
∴三个阴影部分的面积之和的最大值为3×10=30．

点评 本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，利用旋转的性质作辅助线判断出每一个阴影部分的面积等于△ABC的面积是解题的关键，也是本题的难点．