Question

3．如图，AB∥EF∥DC，AB=20，CD=80，
（1）求EF的长；
（2）设AB=a，CD=b，求EF的长；
（3）求证：$\frac{1}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{1}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

Answer 1

分析 （1）先由EF∥AB判断△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$①，再证明△BEF∽△BDC得到$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BC}$②，把两式相加后利用比例的性质即可得到$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$，然后把AB和CD的值代入计算即可；
（2）利用（1）的结论易得EF的长；
（3）作AH⊥BC于H，EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图，与（1）的方法一样可得$\frac{1}{EM}$=$\frac{1}{AH}$+$\frac{1}{DN}$，然后利用等式的性质变形得到$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•EM}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•AH}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•DN}$，从而根据三角形面积公式即可得到结论．

解答 （1）解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$①，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BC}$②，
①+②得$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=1，
∴$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{80}$，
∴EF=16；
（2）解：由（1）得$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，
则EF=$\frac{ab}{a+b}$；
（3）证明：作AH⊥BC于H，EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图，
与（1）的方法一样可得$\frac{1}{EM}$=$\frac{1}{AH}$+$\frac{1}{DN}$，
∴$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•EM}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•AH}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•DN}$，
即：$\frac{1}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{1}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．