Question

11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，OC=3，交直线OD于D，直线OD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，点D的横坐标为4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在（1）中如图2，点P为y轴左侧抛物线上一点，作PE⊥y轴，垂足为E，交抛物线另一侧于F，连接CF，求PE•tan∠ECF的值；
（3）在（2）中如图3，连接OP，M为y轴正半轴上一点，N为射线OD上一点，是否存在点P满足OP=MN，∠PON+∠OMN=180°，且ON=2OM？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点C与点D的坐标，然后将点C和点D的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），则PE=-t，EC=3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t，然后依据抛物线的对称性可求得EF=1-t，然后结合锐角函数的定义，将PE、PC、EF的长代入化简即可求得答案；
（3）首先依据题意画出图形，然后MH⊥ON，垂足为H，接下来，证明△OEP≌△NHM，由全等三角形的性质可知MH=PE，OE=NH，设OH=3k，则MH=4k，OM=5k，从而可求得点P的坐标（用含k的式子表示），将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得k的值，从而得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵OC=3，且点C在y轴的负半轴上，
∴C（0，-3）．
将点C（0，-3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：c=-3．
∵D点横坐标为4，将x=4代入y=$\frac{3}{4}$x得：y=3，
∴D（4，3）．
∵将D（4，3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-3得b=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3．
（2）设P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），则PE=-t，EC=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3+3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴EF=1-t．
∴PE•tan∠ECF=-t•$\frac{1-t}{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t}$=$\frac{t（t-1）}{\frac{1}{2}t（t-1）}$=2．
（3）如图所示：MH⊥ON，垂足为H．

∵∠OMN+∠PON=180°，∠OMN+∠MON+∠MNO=180°，
∴∠PON=∠MON+∠MNO．
∴∠POM=∠ONM．
在△OEP和△NHM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠ONM}\\{∠MHN=∠PEO}\\{MN=OP}\end{array}\right.$，
∴△OEP≌△NHM．
∴MH=PE，OE=NH．
∵∠DOB=∠OMH，直线ON的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
∴设OH=3k，则MH=PE=4k，OM=5k．
∵ON=2OM，
∴ON=10k，HN=7k．
∴OE=7k．
∴P（-4k，7k）．
将点P（-4k，7k）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3得：$\frac{1}{2}$×（-4k）2-$\frac{1}{2}×$（-4k）-3=7k，解得：k=1，k=-$\frac{3}{8}$（舍去）．
∴P（-4，7）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的对称性、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，一次函数的图象和性质，用含k的式子表示点P的坐标是解题的关键．