Question

3．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的个数	4	6			…

（2）前5个正方形分割的三角形的和40前n个正方形分割的三角形的和n²+3n，
（3）原正方形能否被分割成2 012个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形特点找出正方形ABCD内点的个数与分割成的三角形的个数的关系，总结规律即可；
（2）将（1）中的规律写出来即可；
（2）根据规律列出方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）有1个点时，内部分割成4个三角形；
有2个点时，内部分割成4+2=6个三角形；
有3个点时，内部分割成4+2×2=8个三角形；
有4个点时，内部分割成4+2×3=10个三角形；     …
以此类推，有n个点时，内部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）个三角形；

（2）前5个正方形分割的三角形的和40，前n个正方形分割的三角形的和为n²+3n，

（3）能．理由如下：由（1）知2n+2=2012，解得n=1005，
∴此时正方形ABCD内部有1005点．

点评 本题考查的是图形的变化类问题，正确理解题意、根据图形的特点正确找出规律是解题的关键．