Question

11．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，则说明4，12，20都是神秘数．
（1）28和2012是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？
（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，2012=504²-502²，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它是4的倍数，不是8的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，
此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．

点评 此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．