Question

10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连AC、BC，E为⊙O上一点，且BE=CE，点F在BE上，CF⊥AB于D．
（1）求证：CB=CF；
（2）若CF=2，EF=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠A=∠BCD，等量代换得到∠CFB=∠CBF，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BF=1，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AB于D，
∴∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A=∠E，
∴∠E=∠BCF，
∵CE=BD，
∴∠ECB=∠EBC，
∵∠ECB=∠ECF+∠BCF，
∠CFB=∠E+∠ECF，
∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF；
解：（2）∵∠E=∠BCF，∠CBF=∠EBC，
∴△EBC∽△CBF
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BC}$，
∵CF=2，EF=3，
∴$\frac{2}{3+BF}=\frac{BF}{2}$，
∴BF=1，
∵BF²-DF²=BC²-CD²=BD²，
∴1²-（2-CD）²=2²-CD²，
∴CD=$\frac{7}{4}$，
∴BD=$\sqrt{4-（\frac{7}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．