Question

18．已知关于x的一元二次方程x²+2（k+1）x+k²+2=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$，求k值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式即可得；
（2）由x₁+x₂=-2（k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0知x₁＜0，x₂＜0，从而由|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$可得-（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$，代入求解即可．

解答 解：（1）∵方程由两个实数根，
∴△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得：k≥$\frac{1}{2}$；

（2）∵x₁+x₂=-2（k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴由|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$可得-（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$，即2（k+1）=2$\sqrt{5}$，
解得：k=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题主要考查根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的值与根的个数得关系及韦达定理是解题的关键．