Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，AB⊥y轴，垂足为点F，OA=2，∠B=30°，在Rt△OAB内（包含边界）有一动点M（x，y），以M为圆心的⊙M经过原点O，且与AB边相切于点C，⊙M与边OA、OB分别交于点D、E，则DE的取值范围为$\sqrt{3}$≤DE≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分别求出DE的最大值和最小值，如图1中，当点M在OB上时，OM的值最大，设⊙M与AB相切于点G，OM=OG=r，由MG∥OF，推出$\frac{BM}{BO}$=$\frac{MG}{OF}$，可得$\frac{2\sqrt{3}-r}{2\sqrt{3}}$=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，属于DE的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．如图2中，当点M在线段OF上时，切点为F，此时⊙M的半径最小，OM=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DE的最大值为$\sqrt{3}$，由此即可解决问题．

解答 解：在Rt△AOB中，∵OA=2，∠B=30°，
∴AB=2OA=4，OB=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$OF=3，
∵∠DOE=90°，
∴DE是⊙O的直径，
∴DE=2OM．
如图1中，当点M在OB上时，OM的值最大，设⊙M与AB相切于点G，OM=OG=r，

∵MG∥OF，
∴$\frac{BM}{BO}$=$\frac{MG}{OF}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-r}{2\sqrt{3}}$=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DE的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
如图2中，当点M在线段OF上时，切点为F，此时⊙M的半径最小，
OM=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DE的最大值为$\sqrt{3}$，

综上所述，$\sqrt{3}$≤DE≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决DE的最大值以及最小值，属于中考常考题型．