Question

11．四边形ABCD是菱形，点E在BC上，点F在AB上，点H在CD上，连接AE，FH交于点P，∠APF=∠ABC．
（1）如图1，若∠ABC=90°，点F和点B重合，求证：AE=BH；
（2）如图2．求证：AE=FH；
（3）如图3，若AF+CH=BE，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CBH即可．
（2）如图2中，延长CB到N，使得AN=AE，作HM∥BC交AB于M．则四边形ADHM是平行四边形，AD=HM，只要证明△ABN≌△HMF，即可解决问题．
（3）如图3中，在CB取一点N，使得AN=AE，作FM∥BC交CD于M．则四边形ADMF是平行四边形，AD=FM，AF=DM，由△ANB≌△AEC，推出AB=AC=BC，推出△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵∠APF=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABP=90°，∠ABP+∠CBH=90
∴∠BAE=∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBH}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCH，
∴AE=BH．

（2）证明：如图2中，延长CB到N，使得AN=AE，作HM∥BC交AB于M．
则四边形ADHM是平行四边形，AD=HM，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=HM，
∵HM∥CN，
∴∠HMF=∠ABN，
∵∠APF=∠ABC，∠PAF=∠BAE，
∴∠AFP=∠AEB=∠N，
∴△ABN≌△HMF，
∴AN=HF，
∵AE=AN，
∴AE=HF．

（3）解：如图3中，在CB取一点N，使得AN=AE，作FM∥BC交CD于M．
则四边形ADMF是平行四边形，AD=FM，AF=DM，

由（1）可知△ABN≌△FMH，
BN=HM，
∵BC=CD，AF+CH=DM+CH=BE，
∴CE=HM=BN，
在△ANB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AE}\\{∠ANB=∠AEC}\\{BN=EC}\end{array}\right.$，
∴△ANB≌△AEC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．