Question

1．现有一个真命题：如图1，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，如果E、F是AB的三分点，H、G是AC的三分点．那么重叠部分（即四边形EFGH）的面积是△ABC的$\frac{1}{3}$．
（1）请你证明这个真命题；
（2）课题学习一：
①如果是任意三角形（如图2），判断结论是否成立，不必说明理由；
②如果是梯形（图3），结论是否成立，若成立，请加以证明；若不成立，不必说明理由；
（3）课题学习二：
①如果E、F是△ABC的边AB的五等分的第二，三等飞点，H、G是边AC的五等分的第二、三等分点（如图4）通过计算，直接写出四边形EFGH的面积与△ABC的面积的比值；
②如果E、F是△ABC的边AB的2n+1等分的第n、n+1的等分点，H、G是边AC的2n+1等分的第n、n+1等分点，猜想并直接写出四边形EFGH的面积与△ABC的面积的比值．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P，设NP=m，则AM=3m，设EH=n，则BC=3n，FG=2n，根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+2n）m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$进行化简即可；
（2）①如果是任意三角形，结论成立，证明过程同（1）相同；
②如果是梯形，过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P，设NP=m，则AM=3m，设EH=a，BC=b，则FG=$\frac{1}{2}$（a+b），先求出AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，再根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}（a+b）]•m}{\frac{1}{2}[（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b）+b]•3m}$化简即可；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P．①设NP=m，则AM=5m，设EH=n，则BC=$\frac{5}{2}$n，FG=$\frac{3}{2}$n，根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+\frac{3}{2}n）m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$化简即可；
②设NP=m，则AM=（2n+1）m，设EH=a，根据E、F是△ABC的边AB的2n+1等分的第n、n+1的等分点，H、G是边AC的2n+1等分的第n、n+1等分点，得出BC=$\frac{a（2n+1）}{n}$，FG=$\frac{a（n+1）}{n}$，再根据$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a（n+1）}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a（2n+1）}{n}×（2n+1）m}$进行约分即可．

解答 解：（1）如图1：过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P，
设NP=m，则AM=3m，设EH=n，则BC=3n，FG=2n，
则$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+2n）m}{\frac{1}{2}×3n×3m}$=$\frac{1}{3}$；

（2）①如果是任意三角形，结论成立；
②如图2；如果是梯形，结论成立，
证明：过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P，
设NP=m，则AM=3m，设EH=a，BC=b，则FG=$\frac{1}{2}$（a+b），
∵EH=$\frac{1}{2}$（AD+FG），
∴a=$\frac{1}{2}$[AD+$\frac{1}{2}$（a+b）]，
∴AD=$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}[a+\frac{1}{2}（a+b）]•m}{\frac{1}{2}[（\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b）+b]•3m}$=$\frac{1}{3}$；

（3）如图3；过点A作AM⊥BC于点M，交EH、FG于点N、P，
①设NP=m，则AM=5m，设EH=n，则BC=$\frac{5}{2}$n，FG=$\frac{3}{2}$n，
则$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（n+\frac{3}{2}n）m}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}n•5m}$=$\frac{1}{5}$；
②设NP=m，则AM=（2n+1）m，设EH=a，
∵E、F是△ABC的边AB的2n+1等分的第n、n+1的等分点，H、G是边AC的2n+1等分的第n、n+1等分点，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{n}{2n+1}$，
∴BC=$\frac{a（2n+1）}{n}$，
∵$\frac{EG}{FG}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴FG=$\frac{a（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{S}_{四边形EFGH}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[a+\frac{a（n+1）}{n}]m}{\frac{1}{2}×\frac{a（2n+1）}{n}×（2n+1）m}$=$\frac{1}{2n+1}$．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、平行线分线段成比例定理、三角形梯形的面积，关键是根据题意画出图形，作出辅助线．