Question

13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若BM：AM=AN：ND=1：2，ME⊥CN，则NE=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 连结AC，MC，MN，由条件可以得出△ACB≌△ACD，就可以得出∠BAC=∠DAC=30°，BC=DC，由勾股定理就可以求出AC、BC、CD、CN，再证明△BMC≌△NAM，就可以得出∠B=∠ANM=90°，设NE=x，由勾股定理建立方程就可以求出结论．

解答 解：连结AC，MC，MN，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B=∠D=90°
在Rt△ACB和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAC=∠DAC，CB=CD．
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴AC=2BC．
∵AB²+BC²=AC²，AB=3，
∴9+BC²=4BC²，
∴BC=$\sqrt{3}$．
∴CD=$\sqrt{3}$．
∵BM：AM=AN：ND=1：2，
∴设BM=a，AM=2a，AN=b，DN=2b，
∴BM=1，AM=2，AN=1，DN=2，
在Rt△CBM和Rt△CDN中，由勾股定理，得
CM=2，CN=$\sqrt{7}$．
∴CM=2BM，
∴∠BCM=30°，
∴∠BMC=60°．
∴∠BMC=∠MAN，BM=NA，CM=MA．
在△BMC和△NAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=NA}\\{∠BMC=∠MAN}\\{CM=MA}\end{array}\right.$，
∴△BMC≌△NAM（SAS），
∴BC=NM=$\sqrt{3}$．
设NE为x，则CE=$\sqrt{7}-$x，
∴2²-（$\sqrt{7}$-x）²=（$\sqrt{3}$）²-x²，
解得：x=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了运用SAS，HL证明三角形全等的运用，全等三角形的性质的运用，比例的性质的运用，勾股定理的运用，解答时正确作辅助线是难点，证明三角形全等是关键．