小明是一个喜欢探究钻研的学生.他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2的性质时.将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O.两直角边与该抛物线交于A.B两点.请解答以下问题:(1)小明测得OA=OB=4$\sqrt{2}$.求a的值,(2)对同一条抛物线.小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时.过B作BF⊥x轴于点F.测得OF=2.写出此时点B的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．小明是一个喜欢探究钻研的学生，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax²（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）小明测得OA=OB=4$\sqrt{2}$（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=2，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

分析（1）根据抛物线的对称性，先求出B点坐标，代入抛物线y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB²=OA²+OB²，求出点A的横坐标．
（3）首先设A（-m，-$\frac{1}{4}$m²）（m＞0），B（n，-$\frac{1}{4}$n²）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-$\frac{1}{4}$mn，再利用勾股定理得出mn=16，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-4）．

解答解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=4$\sqrt{2}$，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=4，
∴B（4，-4），
将B（4，-4）代入抛物线y=ax²（a＜0）得，a=-$\frac{1}{4}$．

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为2，
∴B （2，-1），
设A（-m，-$\frac{1}{4}$m²）（m＞0），则
OB²=2²+1²=5，OA²=m²+$\frac{1}{16}$m⁴，AB²=（2+m）²+（-1+$\frac{1}{4}$m²）²，
∵∠AOB=90°，
∴AB²=OA²+OB²，
∴（2+m）²+（-1+$\frac{1}{4}$m²）²=m²+$\frac{1}{16}$m⁴+5，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=8，即点A的横坐标为-8．

（3）设A（-m，-$\frac{1}{4}$m²）（m＞0），B（n，-$\frac{1}{4}$n²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-mk+b=-\frac{1}{4}{m}^{2}①}\\{nk+b=-\frac{1}{4}{n}^{2}②}\end{array}\right.$，
①×n+②×m得，（m+n）b=-$\frac{1}{4}$（m²n+mn²）=-$\frac{1}{4}$mn（m+n），
∴b=-$\frac{1}{4}$mn，
由前可知，OB²=n²+$\frac{1}{16}$n⁴，OA²=m²+$\frac{1}{16}$m⁴，AB²=（n+m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+$\frac{1}{16}$n⁴+m²+$\frac{1}{16}$m⁴=（n+m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²）²，
化简，得mn=16．
∴b=-$\frac{1}{4}$×16=-4．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-4）．