Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒，问t为

 

秒时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：先根据勾股定理计算出AC=4cm，然后分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=

1

2

AB=

5

2

，易得t=

13

2

（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB-BP=2，易得t=6（s）．

解答：解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=

AB2-BC2

=4cm，
当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t=3（s）；
若点P在AB上，CP=CB=3，作CH⊥AB于H，如图，CH=

12

5

，在Rt△BCH中，BH=

32-( 12 5 )2

=

9

5

，

则PB=2BH=

18

5

，
∴CA+AP=4+5-

18

5

=5.4，此时t=5.4s；
当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，

则BD=CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP，即AP=

1

2

AB=

5

2

，
∴t=4+

5

2

=

13

2

（s）；
当BP=BC时，△BCP为等腰三角形，即BP=BC=3，
∴AP=AB-BP=2，
∴t=4+2=6（s），
综上所述，t为3s或5s或6s或

13

2

s时，△BCP为等腰三角形．
故答案为3秒或5.4秒或6秒或

13

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．